【笔记】基于斜率最大的资产组合优化
基于《现代投资组合理论与投资分析 9th》;
对基于斜率的资产组合优化的推导,包含MATLAB代码;
基础定义
xi:分配给项目i的比率ˉri:项目i的平均回报率rf:无风险回报率σi:项目i的风险p:投资组合ˉrp=n∑i=1xiˉriσ2p=n∑i=1x2iσ2i+n∑i=1n∑j=1j≠ixixjσij推导过程
基于斜率最大,得出目标函数:
MAX θ=ˉrp−rfσpn∑i=1xi=1带入基础定义得:
θ=∑ni=1xi(ˉri−rf)√∑ni=1x2iσ2i+∑ni=1∑nj=1j≠ixixjσij求最大值即对所有x求导等于0:
Set λ=n∑i=1x2iσ2i+n∑i=1n∑j=1j≠ixixjσijdθdxi=(ˉri−rf)λ12−(∑ni=1xi(ˉri−rf))·12λ−12·(2xiσ2i+2∑nj=1j≠ixjσij)λ=0⇒(ˉri−rf)−(n∑i=1xi(ˉri−rf))·λ−1·(xiσ2i+n∑j=1j≠ixjσij)=0⇒(ˉri−rf)−(ˉrp−rf)·λ−1·(xiσ2i+n∑j=1j≠ixjσij)=0⇒(ˉri−rf)−λnew·(n∑j=1xjσij)=0⇒(ˉri−rf)=λnew·(n∑j=1xjσij)Set λnewxi=zi⇒(ˉri−rf)=n∑j=1zjσij当用于矩阵求解时:
R=[ˉr1ˉr2⋮ˉrn],Z=[z1z2⋮zn]H=[σ21σ12⋯σ1nσ21σ22⋯σ2n⋮⋮⋱⋮σn1σn2⋯σ2n]R−rf=HZZ=H−1(R−rf)xi=zi∑ni=1zi【MATLAB 代码】
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【笔记】基于斜率最大的资产组合优化
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