【笔记】Inner product and Cross Product
对内积与外积基础性质进行简要陈述;
内积(Inner product,点乘)
- 在几何中这个结果为b在a方向上的投影,若a与b正交,$a·b=0$
- Scalar projrction of x onto y :$\alpha=\frac{x^Ty}{||y||}$
- Vector projection of x onto y : $P=\alpha\frac1{||y||}y=\frac{x^Ty}{y^Ty}y$
If $a=(a_1,a_2,a_3)$ and $b=(b_1,b_2,b_3)$. Then $a·b=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$
证明:
$|a-b|^2=|a|^2+|b|^2-2|a||b|Cos\angle(a,b)$
$|a|^2=a_q^2+a_2^2+a_3^2,|b|^2=b_q^2+b_2^2+b_3^2$
$|a-b|^2=(a_1-b_1)^2+(a_2-b_2)^2+(a_3-b_3)^2$
外积(Cross Product,叉乘)
其中
得到结果向量
在几何中这个结果称为法向量,该向量垂直于a和b向量构成的平面
叉乘同时拥有其它基本性质:
- $a \times a = 0$
- $a \times b = -( b \times a)$
- $(a + b)\times c = a \times c + b \times c$
- $(a\times b)\times c\ne a\times(b\times c)$
- $(a\times b)·c=a·(b\times c)$
可得到叉乘公式推导:
同时因为
得到
证明垂直:
$u$ $v$ is perpendicular to both $u$ and $v$.
扩充
If $u=(u_1,u_2,u_3)$ and $v=(v_1,v_2,v_3)$. Then $|u\times v|=|u||v|Sin\angle(a,b)$
证明:
- $|v\times w||u|Cos\angle(a,b)=u·(v\times w)=\begin{vmatrix}u_1 & u_2 & u_3\\v_1 & v_2 & v_3\ w_1 & w_2 & w_3\end{vmatrix}$
- The area of the parallelogram generated by the vectors $(a, b)$ and $(c, d)$ is $det\left(\matrix{a&b\\c&d}\right)$
- $\left\{\matrix{ax+by=e\\cx+dy=f}\right.$ ,只有在 $det\left(\matrix{a&b\\c&d}\right)\ne0$ 时才有解,解为 $\left(\matrix{a&b\\c&d}\right)^{-1}\left(\matrix{e\\f}\right)$
Reference
【笔记】Inner product and Cross Product
http://achlier.github.io/2021/02/15/Inner_product_and_Cross_Product/