【定义】多时期离散时间模型

基于《数理金融学引论—离散时间模型》；

第二部分笔记：多时期市场；

• 在有限样本空间 $\Omega$ 中，$\omega$ 为某一时间 $t$ 的一种可能状态，P($\omega_k$) 为状态 k 发生的概率
  • 拥有子集$A_n$ ，且$A_{n-1}\supseteq A_n$
  • $A_n$ 的子集 $\{A_{n+1}\}$ 集合形成一个分割（Partition）$\mathscr{P}$ （不相交的子集集合）

$$\Omega = \{\omega_1,\omega_2,...,\omega_K\}$$

• 域流（Filtration）$\mathbb{F}$ = $\{\mathscr{F}_t: t = 0,1…,T\}$

  • 描述/揭示价格信息/事件
  • $\mathscr{F}$ 称为 $\Omega$ 上的一个代数（Algebra），$F \in \mathscr{F}$ => $F^c = \Omega\setminus F \in \mathscr{F}$
  • $\mathscr{F}_0 = \{\empty , \Omega\}$ , $\mathscr{F}_T = 2^\Omega$

• 银行账户过程（Bank Account Process）B

• 价格过程（Price Process）S

• 价值过程（Value Process）V

$$V_t = H_0(t)B_t + \sum_{n=1}^NH_n(t)S_n(t)$$

• 增益过程（Gains Process）G

$$\begin{aligned} \Delta S_n &\equiv S_n(t)-S_n(t-1)\\ G_t &\equiv \sum_{u=1}^t H_0(u)\Delta B_u + \sum_{n=1}^N\sum_{u=1}^t H_n(u) \Delta S_n(u) \end{aligned}$$

• 自融资（Self-financing）在交易发生前的价值恰好等于发生之后的价值

$$V_t=H_0(t+1)B_t+\sum_{n=1}^NH_n(t+1)S_n(t)$$

• 折现价格过程（Discounted Price Process）S^*^

$$S_n^*(t) \equiv S_n(t)/B_t$$

• 折现价值过程（Discounted Value Process）V^*^

$$V_t^* \equiv H_0(t) + \sum_{n=1}^N H_n(t)S_n^*(t)$$

• 折现增益过程（Discounted Gains Process）G^*^

$$G_t^* \equiv \sum_{n=1}^N\sum_{u=1}^t H_n(u) \Delta S_n^*(u)$$

• 随机过程 $z$ 中的鞅（Martingale）: $E[Z_{t+s}|\mathscr{F}_t]=Z_t$

  • 上鞅（Super martingale）: $E[Z_{t+s}|\mathscr{F}_t]\leq Z_t$
  • 下鞅（Sub martingale）: $E[Z_{t+s}|\mathscr{F}_t]\ge Z_t$

• 风险中性概率测度（Risk Neutral Probability）Q

  • 也称为鞅测度（Martingale Measure）

$$E_Q[S_n^*(t+s)|\mathscr{F}_t]=S_n^*(t)$$

• 线性定价测度（Linear Pricing Measure）$\pi$

$$\sum_{\omega}\pi(\omega)G_T^*(\omega) = 0$$