【代码】Asian arithmetic Option

对算术平均亚式期权Matlab代码的阅读；

Payoff of Asian arithmetic’s is

$$call : max(\frac{1}{n}\sum_i^nS_i-K_i,0)$$

输入参数

• r = risk free rate
• u , d : $S_1(up)=S_0u, S_1(down)=S_0d$
• strike = strike price (K)
• s0 = $S_0$
• imax = T or periods

r = 0.03; u = 1.1; d = 0.9; 
strike = 9.5; S0 = 9;
imax = 3;

初始化

• rnp = $\frac{1+r-d}{u-d}$ , risk neutral probability
• SS : 初始化价格树，因为不同于欧式需要记录每一步，即$S_0ud$和$S_0du$的平均价格不等，因此需要$2^{imax}$种情况

rnp = (1+r-d)/(u-d);
SS = zeros(2^imax,imax+1);
SS(:,1) = S0;

output：

​ SS = (2^imax,imax+1)

$$\begin{bmatrix} 9 & 0 & 0 & 0 \\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots \\ 9 & 0 & 0 & 0 \\\end{bmatrix} \tag{8 x 4}$$

建立up-down组合表

• matr : 将所有可能排成$2^{imax}$行

matr=[];
for i = 1:imax
    v1 = ones(2^(i-1),1);
    v2 = -v1;
    vc = repmat([v1;v2],2^(imax-i),1);
    % repmat : 将矩阵[v1;v2]重复到2^(imax)×1块排列中
    matr = [vc,matr]; %类似+=,从左加
end

output：

​ matr = （2^imax,imax）

$$\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \\ -1 \\ 1 \\ -1 \\ 1 \\ -1 \\\end{bmatrix} => \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \\ -1 & 1 \\ -1 & -1 \\ 1 & 1 \\ 1 & -1 \\ -1 & 1 \\ -1 & -1 \\\end{bmatrix} => \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & -1 \\ -1 & -1 & 1 \\ -1 & -1 & -1 \\\end{bmatrix} \tag{8 x 3}$$

补充价格树

• 按照matr的组合对SS进行补充

for z = 1:2^imax
    for k = 2:imax+1
        SS(z,k)=SS(z,k-1)*u;
        if matr(z,k-1)<0
            SS(z,k)=SS(z,k-1)*d;
        end
    end
end

output：

​ SS = （2^imax,imax+1）

$$\begin{bmatrix} 9&9.9&10.89&11.979\\ 9&9.9&10.89&9.8010\\ 9&9.9&8.91&9.8010\\ 9&9.9&8.91&8.0190\\ 9&8.1&8.91&9.8010\\ 9&8.1&8.91&8.0190\\ 9&8.1&7.29&8.0190\\ 9&8.1&7.29&6.5610\\ \end{bmatrix} \tag{8 x 4}$$

计算收益

• 按照公式计算收益

payoff = max(sum(SS,2)/(imax+1)-strike,0); % Asian arithmetic's
%payoff = max(prod(SS,2)^(imax+1)-strike,0); % Asian geometric's

output：

​ payoff = （2^imax,1）

$$\begin{bmatrix} 0.9422\\ 0.3978\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\end{bmatrix} \tag{8 x 1}$$

计算每个up-down组合up的次数

for i=1:2^imax
    ind1 = 0;
    for j =1:imax
        if matr(i,j)>0
            ind1=ind1+1;
        end
    end
    pp(i)=ind1;
end

output：

​ pp = （1,2^imax）

$$\begin{bmatrix} 3& 2& 2& 1& 2& 1& 1& 0 \end{bmatrix} \tag{1 x 8}$$

计算期望值

• rnp_payoff = $rnp ^{pp}*(1-rnp)^{imax-pp}$
• option_price = $\frac{E_{rnp}[payoff]}{(1+r)^{imax}}$

rnp_payoff=(rnp.^pp).*(1-rnp).^(imax-pp);
option_price=sum(payoff.*rnp_payoff')/((1+r)^imax);

output：

​ rnp_payoff = （1,2^imax）

$$\begin{bmatrix} 0.2746& 0.1479& 0.1479& 0.0796& 0.1479& 0.0796& 0.0796& 0.0429 \end{bmatrix} \tag{1 x 8}$$

​ rnp_payoff = （1,1）

$$0.2906 \tag{1 x 1}$$