【笔记】Ito Integral

基于 知乎 埃格先生 的文章的笔记;

对 Ito公式 进行了有逻辑的推导，很适合初学者学习;

Ito 积分

在时间 [$T_0,T$], 布朗运动 {$W_t$}$_{t\in[T_0,T]}$. 将时间分成 $N$段, 所以有 $\Delta t=(T-T_0)/N$. 定义 $W_j=w_1+w_2+…+w_j$, 其中 $\omega_i=\xi_i\sqrt{\Delta t}$. {$\xi_i$} 是一列独立同分布的随机变量，它们的均值为 0, 方差为 1, 且满足如下伯努利分布：$P(\xi_i=1)=P(\xi_i=-1)=\frac{1}{2}$

有 $W(t)-W(s)\sim N(0,t-s)$

Ito 积分一般写为

$$\int_{T_0}^Tf_tdW_t$$

接下来我们采用如下的固定范式来讨论：

1. 固定 $N$
2. 令 $N\to\infty$

随机徘徊的离散 Ito 积分

设 {$f_j$}$_{j=0}^N$ 对 {$W_j$}$_{j=0}^N$ 适应, 我们定义其离散 Ito 积分 $I_W[f]$ 是如下随机变量:

$$I_W[f]=\sum_{i=0}^{N-1}f_i(W_{i+1}-W_i)=\sum_{i=0}^{N-1}f_iw_{i+1}$$

例如，取 $f_j=W_j$

$$\omega_i^2=(\xi_i\sqrt{\Delta t})^2=\Delta t$$ $$\begin{align} I_W[f]&=\sum_{i=0}^{N-1}W_iw_{i+1}=\sum_{i=1}^{N}(\sum_{j=0}^{i-1}w_j)w_i=\sum_{j<i\leq N}w_iw_j\\ &=\frac{1}{2}(\sum_{i=1}^{N}w_i)^2-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{N}w_i^2=\frac{1}{2}W_N^2-\frac{T-T_0}{2} \end{align}$$

$I_W[f]$ 具有如下性质：

1. $\mathbb{E}I_W[f]=0$

   用 Tower property 证鞅，然后 $I_W$[$f$]$(0)=0$

2. $\mathbb{E}(I_W[f])^2=\mathbb{E}[f_t^2]\mathbb E[(W_{t+1}-W_t)^2]=\mathbb{E}$[$f_t^2$]$(T-T_0)=\mathbb{E}(\frac{T-T_0}{N}\sum_{i=0}^{N-1}f_i^2)$

连续时间的 Ito 积分

$$I_W[f]=\int_{T_0}^Tf_tdW_t$$

取 $f_j=W_j$

$$\int_{T_0}^TW_tdW_t=\frac{1}{2}W_T^2-\frac{T-T_0}{2}$$

如果 $W_{T_0}\ne 0$, 则多一项 $-W_{T_0}^2/2$

这题也可以用另一个角度解

$$f(t,x)=\frac12 x^2,\ f_t(t,x)=0,\ f_x(t,x)=x,\ f_{xx}(t,x)=1$$ $$df(t,x)=W(t)dW(t)+\frac12dt$$

求积分

$$\frac12 W(T)^2=\int_0^TW(t)dW(t)+\frac12\int_0^Tdt=\int_0^TW(t)dW(t)+\frac12T$$

又或者利用特性

$$E[\int_{T_0}^TW_tdW_t]=0$$ $$VAR=E[(\int_{T_0}^TW_tdW_t)^2]=E[\int_{T_0}^TW_t^2dt]=\int_0^Ttdt=T^2/2$$

相比于普通的积分 $\int_0^Tf(t)df(t) = \frac12f(T)^2$, 伊藤积分是取左值求积分的，如果采用取中值求积分（Stratonovich）

$I_W[f]$ 具有如下性质：

1. $\mathbb{E}\int_{T_0}^Tf_tdW_t=0$
2. $\mathbb{E}(\int_{T_0}^Tf_tdW_t)^2=\mathbb{E}\int_{T_0}^Tf_t^2dt$
   • Ito Isometry
3. $[I_W[f],I_W[f]]_T=\int_0^Tf^2(t)dt$
   • $dI_W[f]dI_W[f]=f^2(t)dt$

随机差分方程的等价的离散积分形式及其连续极限

$$\begin{align} X_{j+1}&\approx X_j+b_j\Delta t+\sigma_j\omega_{j+1}\\ &= X_j+ \underbrace{b_j\Delta t}+\underbrace{\sigma_j\xi_{j+1}\sqrt{\Delta t}}\\ &\qquad\quad\ 确定运动 \quad\ 随机运动 \end{align}$$

第一步省略了一个 $o(\Delta t)$

离散积分

$$X_n=X_0+\Delta t\sum_{j=0}^{n-1} b_j+\sum_{j=0}^{n-1} w_{j+1}\sigma_j$$

连续积分

$$X(t)=X(0)+\int_0^t b(s)ds+\int_0^t\sigma(s)dW(s)$$

Ito 公式

做 Taylor 二阶展开, 将超过 $o(\Delta t) $的部分省略, 其中包含二阶以上导($X_{n+1}-X_n$ 是一个 $o(\sqrt{\Delta t})$ 的量)与一部分二阶导 ($\Delta t$ 超过一次的)

$$\begin{align} f(X_{n+1})&=f(X_n)+f'(X_n)·(X_{n+1}-X_n)+\frac{f''(X_n)}{2}·(X_{n+1}-X_n)^2+o(\Delta t)^{3/2}\\ &=f(X_n)+f'(X_n)·(b_n\Delta t+\sigma_n\xi_{n+1}\sqrt{\Delta t})+\frac{f''(X_n)}{2}·(b_n\Delta t+\sigma_n\xi_{n+1}\sqrt{\Delta t})^2\\ &=f(X_n)+f'(X_n)·(b_n\Delta t+\sigma_n\xi_{n+1}\sqrt{\Delta t})+\frac{f''(X_n)}{2}·\sigma_n^2\xi_{n+1}^2\Delta t\\ \end{align}$$

$\xi_{n+1}^2$ 在 almost surely (a.s.) 的意义下等于 1, 整理上式得到

$$f(X_{n+1})-f(X_n)=f'(X_n)\sigma_n\xi_{n+1}\sqrt{\Delta t}+(f'(X_n)·b_n+\frac{f''(X_n)·\sigma_n^2}{2})\Delta t$$

也可以写成离散积分的形式

$$f(X_n)=X_0+\sum_{j=0}^{n-1}f'(X_j)\sigma_jw_{j+1}+\sum_{j=0}^{n-1}(f'(X_j)·b_j+\frac{f''(X_j)·\sigma_j^2}{2})\Delta t$$

对应于连续的形式

$$f(X(t))=X(0)+\int_0^tf'(X(s))\sigma(s)dw(s)+\int_0^t(f'(X(s))·b(s)+\frac{f''(X(s))·\sigma(s)^2}{2})ds$$

上述公式被称为Ito公式，简记为

$$df(X(t))=f'(X(s))\sigma(s)dw(s)+(f'(X(s))·b(s)+\frac{f''(X(s))·\sigma(s)^2}{2})ds$$

随机差分方程

$$X_{j+1}-X_j=s(X_j,t)w_{j+1}+m(X_j,t)\Delta t$$

随机微分方程

$$dX(t)=\sigma(X(t),t)dW(t)+m(X(t),t)dt$$

其它

（Vasicek Model）Interest rate stochastic differential equation

$$dR(t)=(\alpha-\beta R(t))dt+\sigma dW(t)$$

有一个 mean reversion 的特点，均值为 $\frac\alpha\beta$

$$f(t,x)=e^{\beta t}x,\ f_t=x\beta e^{\beta t},\ f_x=e^{\beta t},\ f_{xx}=0$$ $$\begin{align} d(e^{\beta t}R(t))=df(t,R(t))&=x\beta e^{\beta t}dt+e^{\beta t}dR(t)\\ &=R(t)\beta e^{\beta t}dt+e^{\beta t}((\alpha-\beta R(t))dt+\sigma dW(t))\\ &=e^{\beta t}\alpha dt+e^{\beta t}\sigma dW(t) \end{align}$$ $$\begin{align} e^{\beta T}R(T)&=R(0)+\int_0^Te^{\beta t}\alpha dt+\int_0^Te^{\beta t}\sigma dW(t)\\ R(T)&=e^{-\beta T}R(0)+e^{-\beta T}\frac\alpha\beta[e^{\beta t}|_0^T]+\int_0^Te^{-\beta(T-t)}\sigma dW(t)\\ &=e^{-\beta T}R(0)+e^{-\beta T}\frac\alpha\beta(e^{\beta T}-1)+\int_0^Te^{-\beta(T-t)}\sigma dW(t)\\ &=e^{-\beta T}R(0)+\frac\alpha\beta(1-e^{-\beta T})+\int_0^Te^{-\beta(T-t)}\sigma dW(t)\\ \end{align}$$

特性

$$\mathbb E[R(t)]=e^{-\beta t}R(0)+\frac\alpha\beta(1-e^{-\beta t})$$

If $t\to\infty$, then $\mathbb E[R(t)]\to \frac\alpha\beta$

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Reference

1. 埃格先生

2. Ito积分练习题(Part 2)