【笔记】期权定价的零散笔记

基于B站 up Jerry Xu 的视频；

主要复习基础部分一些遗忘的，或是未观察到的点；

金融数学

Calculus

• Real Analysis
  • Functional Analysis
  • ODE
    • PDE
      • SDE
  • Convex Opt
  • Measure Theory

Linear Algebra

《线性代数导论》- Gilbert Strang

• Matrix Analysis

  张贤达

• Numerical Analysis

  Timothy Sauer

  《金融学与经济学中的数学方法——基于Matlab》- Paolo Brandimarte

Prob Theory

• Stochastic Process

  《应用随机过程概率模型导论》- Sheldon M.Ross

  《金融随机分析》- Shreve

  • Time Series

• Stochastic Calculus

  • 《Stochastic Calculus for Finance》 - Shreve

期权定价

• 二叉树
• BS model
• Monte Carlo
• Finite-difference

BS model 定价

已知

$$dS_t=\mu S_tdt+\sigma S_tdW_t$$

按公式分为两种方法建立 BS model

1. 建立投资组合消去 $dW_t$，保留 $dt$ (对冲 Hedge)
2. 消去 $dt$，保留 $dW_t$ 构造一个鞅的过程

鞅是一个很好的性质，如果在第一个方法，只能形成上鞅或者下鞅，因此它可能会跑到 BS-PDE 的那边去，用换元+傅里叶变换解热传导方程.

针对第一个方法详细见 Feynman-Kac_To_Black-Scholes-PDE + PDE到BS过程

针对第二个方法详细见 Black_Scholes_Model推导_进阶版

二叉树定价

二叉树的定价也可以分为两种

1. 对冲 Hedge (Risk)
2. 复制 (Replicate Option)

详细见 Mathematical_Finance

二叉树向BS的转换

设 $I$ 为向上走的次数, 默认$p$为无风险概率, 以下都存在于风险中性中

$$\mathbb P(I=i)=\binom iN p^i(1-p)^{N-i},\ 0\leq i\leq N$$

$\Rightarrow I \sim B(N,p)$, 当 $N\to\infty$ 二项分布趋近于正态分布

De Moivre - Laplace CLT（棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理）

$x_n\sim B(n,p), 0<p<1$ For $\forall x$, we have

$$\mathbb P(\frac{x_n-np}{\sqrt{np(1-p)}}\leq a)=\int_{-\infty}^a\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{t^2}2}dt=N(a)$$

引入股价

$$\begin{align} \mathbb P(S_N\ge K)&=\mathbb P(ln(S_N)\ge ln(K))\\ &=\mathbb P(lnS_0+Ilnu+(N-I)lnd\ge ln(K))\\ &=\mathbb P(lnS_0+Iln\frac ud+Nlnd\ge ln(K))\\ &=\mathbb P(I\ge \frac{ln\frac k{S_0}-Nlnd}{ln\frac ud})\\ &=\mathbb P(\frac{I-Np}{\sqrt{Np(1-p)}}\ge \frac{\frac{ln\frac k{S_0}-Nlnd}{ln\frac ud}-Np}{\sqrt{Np(1-p)}})\\ \end{align}$$

代入

$$u=e^{\sigma\sqrt{\Delta t}}, d=e^{-\sigma\sqrt{\Delta t}}$$ $$p=\frac{e^{r\Delta t}-d}{u-d}, 1-p=\frac{u-e^{r\Delta t}}{u-d}$$

并让 $\Delta t\to 0$, 最终可推导

$$\mathbb P(S_N\ge K)=\mathbb P(\frac{I-Np}{\sqrt{Np(1-p)}}\ge -d_2)=N(d_2)$$

定价模型

$$\begin{align} V&=e^{-rt}\mathbb E[(S_N-k)\mathbb I_{\{S_N\ge k\}}]\\ &=e^{-rt}\mathbb E[S_N\mathbb I_{\{S_N\ge k\}}]-e^{-rt}\mathbb E[k\mathbb I_{\{S_N\ge k\}}]\\ &=e^{-rt}\mathbb E[S_N\mathbb I_{\{S_N\ge k\}}]-e^{-rt}k\mathbb Q(S_N\ge K)\\ &=e^{-rt}\mathbb E[S_N\mathbb I_{\{S_N\ge k\}}]-e^{-rt}kN(d_2)\\ \end{align}$$

第一项

$$\begin{align} e^{-rt}\mathbb E[S_N\mathbb I_{\{S_N\ge k\}}]&=e^{-rt}\sum_{i=0}^N\binom inp^i(1-p)^{N-i}S_0u^id^{N-i}I_{\{S_0u^id^{N-i}\ge k\}}\\ &=S_0\sum_{i=0}^N\binom in(pue^{-r\Delta t})^i((1-p)de^{-r\Delta t})^{N-i}I_{\{S_0u^id^{N-i}\ge k\}}\\ \end{align}$$

将系数代入下式可得

$$pue^{-r\Delta t}+(1-p)S_0de^{-r\Delta t}=1$$

将 $p^=pue^{-r\Delta t}$, $(1-p^)=(1-p)S_0de^{-r\Delta t}$ 代入

$$\begin{align} e^{-rt}\mathbb E[S_N\mathbb I_{\{S_N\ge k\}}]&=S_0\sum_{i=0}^N\binom in(p^*)^i(1-p^*)^{N-i}I_{\{S_0u^id^{N-i}\ge k\}}\\ &=S_0\mathbb E^{P^*}[I_{\{S_0u^id^{N-i}\ge k\}}]\\ &=S_0\mathbb P^*(S_N\ge k) \end{align}$$

用之前的方法可证

$$\mathbb P^*(S_N\ge K)=N(d_1)$$

总结得

$$V=S_0N(d_1)-e^{-rt}kN(d_2)\\$$

证明 $lnS_N$ 的正态性

$$\begin{align} \mathbb P(S_N\leq x)&=\mathbb P(lnS_0+Ilnu+(N-I)lnd\leq x)\\ &=\mathbb P(I\leq \frac{K-Nlnd-lnS_0}{ln\frac ud})\\ &=\mathbb P(\frac{I-Np}{\sqrt{Np(1-p)}}\leq \frac{\frac{x-Nlnd-lnS_0}{ln\frac ud}-Np}{\sqrt{Np(1-p)}})\\ &=N(\frac{x-lnS_0-(r-\frac12\sigma^2)T}{\sigma\sqrt T}) \end{align}$$

求导得

$$\mathbb P_{lnS_N}(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}exp(-\frac{(x-lnS_0-(r-\frac12\sigma^2)T)^2}{2\sigma^2T})\times \frac1{\sigma\sqrt T}$$

符合一个 $N(lnS_0+(r-\frac12\sigma^2)T,\sigma^2T)$

二叉树向BS-PDE的转换

假设在某个时刻一个投资组合

$$V-\Delta S$$

下一时刻

$$\begin{align} V_u-\Delta uS&=V_d-\Delta dS\\ V_u-\frac{V_u-V_d}{(u-d)S}uS&=V_d-\frac{V_u-V_d}{(u-d)S}dS\\ \frac{(u-d)V_u-u(V_u-V_d)}{(u-d)}&=\frac{(u-d)V_d-d(V_u-V_d)}{(u-d)}\\ \frac{-dV_u+uV_d}{(u-d)}&=\frac{uV_d-dV_u}{(u-d)} \end{align}$$

得到

$$V-\Delta S=\frac{uV_d-dV_u}{(u-d)}e^{-r\Delta t}$$

Set $D=e^{-r\Delta t}$, 代入 $\Delta$

$$(u-d)V\frac 1D=(u-\frac 1D)V_d+(\frac 1D-d)V_u$$

泰勒展开

$$u=e^{\sigma\sqrt{\Delta t}}\approx 1+\sigma\sqrt{\Delta t}+\frac 12 \sigma^2\Delta t$$ $$d=e^{-\sigma\sqrt{\Delta t}}\approx 1-\sigma\sqrt{\Delta t}+\frac 12 \sigma^2\Delta t$$ $$\frac 1D=e^{r\Delta t}\approx 1+r\Delta t$$ $$V_u=V+\frac{\partial V}{\partial t}\Delta t+\frac{\partial V}{\partial S}\Delta S_u+\frac 12\frac{\partial^2 V}{\partial S^2}(\Delta S_u)^2$$ $$V_d=V+\frac{\partial V}{\partial t}\Delta t+\frac{\partial V}{\partial S}\Delta S_d+\frac 12\frac{\partial^2 V}{\partial S^2}(\Delta S_d)^2$$ $$\Delta S_u=(u-1)S\approx(\sigma\sqrt{\Delta t}+\frac 12 \sigma^2\Delta t) S$$ $$\Delta S_d=(d-1)S\approx(-\sigma\sqrt{\Delta t}+\frac 12 \sigma^2\Delta t) S$$ $$(\Delta S_u)^2\approx \sigma^2S^2\Delta t$$ $$(\Delta S_d)^2\approx \sigma^2S^2\Delta t$$ $$(u-\frac 1D)V_d\approx(\sigma\sqrt{\Delta t}+(\frac 12 \sigma^2-r)\Delta t)(V+\frac{\partial V}{\partial t}\Delta t+\frac{\partial V}{\partial S}(-\sigma\sqrt{\Delta t}+\frac 12 \sigma^2\Delta t) S+\frac 12\frac{\partial^2 V}{\partial S^2}\sigma^2S^2\Delta t)$$ $$(\frac 1D-d)V_u\approx((r-\frac 12 \sigma^2)\Delta t+\sigma\sqrt{\Delta t})(V+\frac{\partial V}{\partial t}\Delta t+\frac{\partial V}{\partial S}(\sigma\sqrt{\Delta t}+\frac 12 \sigma^2\Delta t) S+\frac 12\frac{\partial^2 V}{\partial S^2}\sigma^2S^2\Delta t)$$ $$\begin{align} (u-\frac 1D)V_d+(\frac 1D-d)V_u&=(2\sigma r-\sigma^3)S(\Delta t)^{1.5}\frac{\partial V}{\partial S}\\ &+(2\sigma\sqrt{\Delta t}V+2\sigma(\Delta t)^{1.5}\frac{\partial V}{\partial t}+S\sigma^3(\Delta t)^{1.5}\frac{\partial V}{\partial S}+\sigma^3S^2(\Delta t)^{1.5}\frac{\partial^2 V}{\partial S^2})\\ &=2\sigma rS(\Delta t)^{1.5}\frac{\partial V}{\partial S}\\ &+(2\sigma\sqrt{\Delta t}V+2\sigma(\Delta t)^{1.5}\frac{\partial V}{\partial t}+\sigma^3S^2(\Delta t)^{1.5}\frac{\partial^2 V}{\partial S^2}) \end{align}$$

代入

$$\begin{align} 2\sigma\sqrt{\Delta t}(1+r\Delta t)V&\approx2\sigma rS(\Delta t)^{1.5}\frac{\partial V}{\partial S}+(2\sigma\sqrt{\Delta t}V+2\sigma(\Delta t)^{1.5}\frac{\partial V}{\partial t}+\sigma^3S^2(\Delta t)^{1.5}\frac{\partial^2 V}{\partial S^2})\\ r(\Delta t)V&\approx rS(\Delta t)\frac{\partial V}{\partial S}+(\Delta t)\frac{\partial V}{\partial t}+\frac 12\sigma^2S^2(\Delta t)\frac{\partial^2 V}{\partial S^2}\\ 0&\approx\Delta t(\frac{\partial V}{\partial t}+rS\frac{\partial V}{\partial S}+\frac 12\sigma^2S^2\frac{\partial^2 V}{\partial S^2}-rV)\\ 0&=\frac{\partial V}{\partial t}+rS\frac{\partial V}{\partial S}+\frac 12\sigma^2S^2\frac{\partial^2 V}{\partial S^2}-rV+(\Delta t)^{\alpha-1}\ with\ \alpha>1 \end{align}$$

当 $\Delta t\to0$

$$0=\frac{\partial V}{\partial t}+rS\frac{\partial V}{\partial S}+\frac 12\sigma^2S^2\frac{\partial^2 V}{\partial S^2}-rV$$

因为我们省略的 $\Delta t$ 最高阶是 1，所以 $\alpha$ 最低取 1