【推导】Black Scholes Model 进阶版

基于B站 up Jerry Xu 的系列视频；

考虑测度变换的知识进行推导；

采用等价鞅测度的定价方法；

这个在 $\mathbb P$ 测度下过程一样，为什么要转换测度？

按照up主的解释，$\mathbb P$ 测度下的鞅是不存在的，只能转换到 $\mathbb Q$ 去求

在 $\mathbb P$ 测度下考虑到期权必定存在非系统的风险，且此测度并非是风险中性，因此定价过程中会对风险进行补偿，鞅不存在。

Step1

我们设 $S_t^*$ 是 $S_t$ 折现后的价值，其中 $S_t$ 存在于 $\mathbb P$ 测度下, 而折现后在 $\mathbb Q$ 测度下是鞅

$$S^*_t=S_te^{-rt}$$ $$\begin{align} dS_t^*&=d(S_te^{-rt})=S_tde^{-rt}+e^{-rt}dS_t+dS_tde^{-rt}\\ &=-re^{-rt}S_tdt+e^{-rt}(\mu S_tdt+\sigma S_tdW_t)\\ &=(\mu-r)S_t^*dt+\sigma S_t^*dW_t \end{align}$$

因为 $\mu>r$ 永远存在，所以在 $\mathbb P$ 测度下永远不可能得到鞅，因此要换测度

Novikov condition

若 $\theta^2$ 可积，存在一个 process $M^\theta$

$$M_t^\theta=exp(-\int_0^t\theta_sdX_s-\frac12\int_0^t\theta_s^2ds)$$

是一个鞅

Girsanov‘s Theorem

可以通过 Radon Nicodym 导数

$$\frac{d\mathbb Q}{d\mathbb P}=exp(-\int_0^t\theta_sdW_s-\frac12\int_0^t\theta_s^2ds)$$

得到在 $\mathbb Q$ 测度下的布朗运动

$$W_t^\mathbb Q=W_t+\int_0^t\theta(s)ds$$ $$dW_t^\mathbb Q=dW_t+\theta_tdt$$

只有随机变量在不同概率测度下才会有影响

详细见 概率测度变换笔记

得到替换后的在 $\mathbb Q$ 测度下的 $dS_t^*$

$$\begin{align} dS_t^*&=(\mu-r)S_t^*dt+\sigma S_t^*(dW_t^\mathbb Q-\theta_tdt)\\ &=(\mu-r-\sigma\theta_t)S_t^*dt+\sigma S_t^*dW_t^\mathbb Q \end{align}$$

为了取鞅 $\theta_t=\frac{\mu-r}{\sigma}$，此时

$$dS_t^*=\sigma S_t^*dW_t^\mathbb Q$$

对于一个投资组合

$$dV_t=\phi_t^SdS_t+\phi_t^BdB_t,\quad B_t=B_0e^{rt}$$ $$\begin{align} dV_t^*&=V_tde^{-rt}+e^{-rt}dV_t\\ &=-re^{-rt}(\phi_t^SS_t+\phi_t^BB_t)dt+e^{-rt}(\phi_t^SdS_t+\phi_t^BdB_t)\\ &=\phi_t^S(-re^{-rt}S_tdt+e^{-rt}dS_t)+\phi_t^B(-re^{-rt}B_tdt+e^{-rt}dB_t)\\ &=\phi_t^S(S_tde^{-rt}+e^{-rt}dS_t)+\phi_t^B(-re^{-rt}B_tdt+e^{-rt}rB_tdt)\\ &=\phi_t^SdS_te^{-rt}=\phi_t^SdS_t^*=\phi_t^S\sigma S_t^*dW_t^\mathbb Q \end{align}$$

也是一个 $\mathbb Q$ 鞅

$$\mathbb E^\mathbb Q[V_T^*|\mathscr{F}_t]=V_t^*$$

设 $G(S_T)$ 为期权到期日的收益，因为 $V_T$ 是一个复制期权的组合

$$\mathbb E^\mathbb Q[V_T^*|\mathscr{F}_t]=\mathbb E^\mathbb Q[G(S_T)e^{-rT}|\mathscr{F}_t]$$

最后能得到

$$V_t^*=\mathbb E^\mathbb Q[G(S_T)e^{-rT}|\mathscr{F}_t]$$

初步的定价公式

$$V_t=V_t^*e^{rt}=e^{-r(T-t)}\mathbb E^\mathbb Q[G(S_T)|\mathscr{F}_t]$$

Step2

已知对于看涨期权初步的定价公式

$$C=V_t^*e^{rt}=e^{-rT}\mathbb E^\mathbb Q[(S_T-K,0)^+]$$

引入示性函数 $\mathbb I$

$$\begin{align} C&=e^{-rT}\mathbb E^\mathbb Q[(S_T-k)\mathbb I_{\{S_T\ge K\}}]\\ &=e^{-rT}(\mathbb E^\mathbb Q[S_T\mathbb I_{\{S_T\ge K\}}]-\mathbb E^\mathbb Q[k\mathbb I_{\{S_T\ge K\}}]) \end{align}$$

Under $\mathbb Q$ with $\theta=\frac{\mu-r}\sigma$

$$dW_t=dW_t^\mathbb Q-\theta_tdt$$ $$\begin{align} dS_t&=\mu S_tdt+\sigma S_t(dW_t^\mathbb Q-\theta_tdt)\\ &=rS_tdt+\sigma S_tdW_t^\mathbb Q \end{align}$$ $$\begin{align} S_t &= S_0exp((r - \frac{\sigma^2}{2})t +\sigma W_t^\mathbb Q)\\ &= S_0exp((r - \frac{\sigma^2}{2})t +\sigma \epsilon\sqrt t) \end{align}$$

推导一个特性

$$\epsilon\sim N(0,1)\qquad m,\lambda,a\ constant$$ $$\begin{align} &\mathbb E[e^{m+\lambda\epsilon}\mathbb I_{\{\epsilon\ge a\}}]\\ =&\int_{-\infty}^\infty e^{m+\lambda x}\mathbb I_{\{x\ge a\}}\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}2}dx\\ =&\int_{a}^\infty e^{m+\lambda x}\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}2}dx\\ =&\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_{a}^\infty e^{m+\lambda x-\frac{x^2}2}dx\\ =&\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_{a}^\infty e^{m-(\frac{x^2}2-\lambda x+\frac{\lambda^2}2)+\frac{\lambda^2}2}dx\\ =&\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_{a}^\infty e^{m-\frac{(x-\lambda)^2}{\sqrt{2}}+\frac{\lambda^2}2}dx\\ =&\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{m+\frac{\lambda^2}2}\int_{a}^\infty e^{-\frac{(x-\lambda)^2}{\sqrt{2}}}dx\\ (set\ y=x-\lambda)=&\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{m+\frac{\lambda^2}2}\int_{a-\lambda}^\infty e^{-\frac{y^2}{\sqrt{2}}}dy\\ &=e^{m+\frac{\lambda^2}2}(N(\infty)-N(a-\lambda))\\ &=e^{m+\frac{\lambda^2}2}(1-N(a-\lambda)) \end{align}$$

With $N(x)+N(-x)=1$

$$\mathbb E[e^{m+\lambda\epsilon}\mathbb I_{\{\epsilon\ge a\}}]=e^{m+\frac{\lambda^2}2}N(\lambda-a)$$

求解

求第一项

$$\begin{align} &e^{-rT}\mathbb E^\mathbb Q[S_T\mathbb I_{\{S_T\ge K\}}]\\ =&e^{-rT}\mathbb E^\mathbb Q[S_0exp((r - \frac{\sigma^2}{2})T +\sigma \epsilon\sqrt T)\mathbb I_{\{S_0exp((r - \frac{\sigma^2}{2})T +\sigma \epsilon\sqrt T)\ge K\}}]\\ =&e^{-rT}S_0e^{(r - \frac{\sigma^2}{2})T}\mathbb E^\mathbb Q[e^{\sigma \epsilon\sqrt T}\mathbb I_{\{\epsilon\ge \frac{ln(K/S_0)-(r - \frac{\sigma^2}{2})T}{\sigma\sqrt T}\}}]\\ =&e^{-rT}S_0e^{(r - \frac{\sigma^2}{2})T}e^{\frac{\sigma^2T}2}N(\sigma\sqrt T- \frac{ln(K/S_0)-(r - \frac{\sigma^2}{2})T}{\sigma\sqrt T})\\ =&S_0N(\frac{ln(S_0/K)+(r + \frac{\sigma^2}{2})T}{\sigma\sqrt T})=S_0N(d_1)\\ \end{align}$$

或者可以再次用测度变换使得

$$\frac{d \tilde{\mathbb Q}}{d\mathbb Q}=e^{-\frac{\sigma^2}{2}t +\sigma W_t}$$ $$\tilde W_t=W_t-\sigma t$$ $$\begin{align} &e^{-rT}\mathbb E^\mathbb Q[S_T\mathbb I_{\{S_T\ge K\}}]\\ =&e^{-rT}\mathbb E^\mathbb Q[S_0exp((r - \frac{\sigma^2}{2})T +\sigma W_T)\mathbb I_{\{S_0exp((r - \frac{\sigma^2}{2})T +\sigma W_T)\ge K\}}]\\ =&S_0\mathbb E^\mathbb{\tilde Q}[\mathbb I_{\{S_0exp((r - \frac{\sigma^2}{2})T +\sigma\tilde W_T+\sigma^2T)\ge K\}}]\\ =&S_0\mathbb E^\mathbb{\tilde Q}[\mathbb I_{\{-\frac{\tilde W_T}{\sqrt{T}}\leq \frac{ln(S_0/K)+(r + \frac{\sigma^2}{2})T}{\sigma\sqrt{T}}\}}]\\ =&S_0\tilde{\mathbb Q}(-\frac{\tilde W_T}{\sqrt{T}}\leq \frac{ln(S_0/K)+(r + \frac{\sigma^2}{2})T}{\sigma\sqrt{T}})\\ =&S_0N(\frac{ln(S_0/K)+(r + \frac{\sigma^2}{2})T}{\sigma\sqrt{T}})=S_0N(d_1) \end{align}$$

求第二项

$$\begin{align} &e^{-rT}\mathbb E^\mathbb Q[K\mathbb I_{\{S_T\ge K\}}]\\ =&Ke^{-rT}\mathbb E^\mathbb Q[\mathbb I_{\{\epsilon\ge \frac{ln(K/S_0)-(r - \frac{\sigma^2}{2})T}{\sigma\sqrt T}\}}]\\ =&Ke^{-rT}\mathbb Q(\epsilon\ge \frac{ln(K/S_0)-(r - \frac{\sigma^2}{2})T}{\sigma\sqrt T})\\ =&Ke^{-rT}N(\frac{ln(S_0/K)+(r - \frac{\sigma^2}{2})T}{\sigma\sqrt T})=e^{-rT}N(d_2)\\ \end{align}$$

额外连接-等价鞅测度和鞅定价方法