【笔记】Brownian Motion

基于B站 up Jerry Xu 的视频；

跨了一些视频，收集了一些关于BM的点；

对称随机游走S.R.W

基本定义

$$X_i=\begin{cases}1&Head\\-1&Tail\end{cases}$$ $$M_k=M_0+\sum_{i=1}^kX_i$$ $$\mathbb E[X_i]=1\times\frac 12-1\times\frac 12=0$$ $$Var(X_i)=(1-0)^2\times\frac12+(-1-0)^2\times\frac12=1$$

特性

Indipendent increments

增量直接独立

$$\mathbb E[M_{k_{i+1}}-M_{k_i}]=0$$ $$Var(M_{k_{i+1}}-M_{k_i})=k_{i+1}-k_i$$

Martingle Property

Set $k<l$

$$\begin{align} \mathbb E[M_l|\mathscr F_k]&=\mathbb E[M_l-M_k+M_k|\mathscr F_k]\\ &=\mathbb E[M_l-M_k|\mathscr F_k]+\mathbb E[M_k|\mathscr F_k]\\ &=0+M_k \end{align}$$

if $k>l$ 采用高等概率中正态分布的条件概率公式

Quadratic Variation

$$[M,M]_k=\sum_{j=1}^k(M_j-M_{j-1})^2=K\times 1=K$$

与 $Var(M_{k}-M_{0})$ 不同的是，上式考察的是每一步，而 $Var$ 考察的是在最后的点的 $\sigma$

Scaled Random Walk (n)

单位时间内走 $n$ 步, 一共 $nt$ 步, 每步 $\frac1{\sqrt n}$

$$W^n(t)=\frac1{\sqrt n}M_{nt}$$ $$\mathbb E[W^n(t)-W^n(s)]=\mathbb E[\frac1{\sqrt n}\sum_{j=ns+1}^{nt}x_j]=0$$ $$Var(W^n(t)-W^n(s))=\frac1nVar(M_{nt}-M_{ns})=t-s$$

特性

Indipendent increments

Martingle Property

Quadratic Variation

$$\begin{align} [W^n,W^n]_t&=\sum_{i=1}^{nt}(W^n(\frac in)-W^n(\frac {i-1}n))^2\\ &=\sum_{i=1}^{nt}(\frac1{\sqrt n}(M_{i}-M_{i-1}))^2\\ &=\sum_{i=1}^{nt}\frac1n=t \end{align}$$

Brownian motion

Moment Generating Function 矩生成函数

$W^n(t)$ 的 MGF ：$\phi_n(u)$

$$\begin{align} \phi_n(u)&=\mathbb E[e^{uW^n(t)}]=\mathbb E[exp(\frac u{\sqrt n}M_{nt})]\\ &=\mathbb E[exp(\frac {uX_1}{\sqrt n})exp(\frac {uX_2}{\sqrt n})...exp(\frac {uX_{nt}}{\sqrt n})]\\ &=(\frac12(e^{\frac u{\sqrt n}}+e^{\frac {-u}{\sqrt n}}))^{nt}\\ \end{align}$$ $$\begin{align} ln\phi_n(u)&=nt\ln(\frac12(e^{\frac u{\sqrt n}}+e^{\frac {-u}{\sqrt n}}))\\ (Set\ \frac1{\sqrt{n}}=\lambda) &\Rightarrow \frac t{\lambda^2}\ln(\frac12(e^{\lambda u}+e^{-\lambda u}))\\ (泰勒展开)&=\frac t{\lambda^2}\ln(1+\frac12\lambda^2u^2+o(\lambda^2))\\ (If\ x\to 0, \ln(1+x)\sim x)&=\frac t{\lambda^2}(\frac12\lambda^2u^2+o(\lambda^2))\\ &=\frac t2u^2+to(\lambda^4)=\frac t2u^2 \end{align}$$

当 $n\to\infty$

$$\phi_n(u)=exp(\frac t2u^2)$$

If $Y\sim N(0,t)$

$$PDF:\frac1{\sqrt{2\pi t}}exp(-\frac{x^2}{2t})$$ $$\begin{align} W^n(t)的MGF:\mathbb E[e^{uY}]&=\int_{-\infty}^\infty e^{ux}\frac1{\sqrt{2\pi t}}exp(-\frac{x^2}{2t})dx\\ &=\int_{-\infty}^\infty\frac1{\sqrt{2\pi t}}exp(-(\frac{x^2}{2t}-ux+\frac{u^2t}2)+\frac{u^2t}2)dx\\ &=\int_{-\infty}^\infty\frac1{\sqrt{2\pi t}}exp(-\frac1{2t}(x-ut)^2+\frac{u^2t}2)dx\\ &=e^{\frac{u^2t}2}\int_{-\infty}^\infty\frac1{\sqrt{2\pi t}}exp(-\frac1{2t}(x-ut)^2)dx\\ &=e^{\frac{u^2t}2} \end{align}$$

$W^n(t)$ 的 MGF 趋于 $N(0,t)$ 的 MGF

First-Order Variation

$$FV_T(f)=\int_0^t|f'(t)|dt$$

Quadratic Variation

$$[f,f](T)=\lim_{||\pi||\to0}\sum_{j=0}^{n-1}(f(t_{j+1})-f(t_j))^2$$

where $||\pi||=max(t_{j+1}-t_j)$

如果一个函数是连续的，它的Quadratic Variation为0

对于Brownian motion $W(t)$ 设

$$Q_{\pi}=\sum_{j=0}^{n-1}(W(t_{j+1})-W(t_j))^2$$ $$\begin{align} \mathbb E[Q_\pi]&=\sum_{j=0}^{n-1}\mathbb E[(W(t_{j+1})-W(t_j))^2]\\ &=\sum_{j=0}^{n-1}Var(W(t_{j+1})-W(t_j))\\ &=\sum_{j=0}^{n-1}(t_{j+1}-t_j)=T \end{align}$$ $$\begin{align} Var[Q_\pi]&=\sum_{j=0}^{n-1}Var[(W(t_{j+1})-W(t_j))^2]\\ &=\sum_{j=0}^{n-1}\mathbb E[(W(t_{j+1})-W(t_j))^4]-(t_{j+1}-t_j)^2\\ &=\sum_{j=0}^{n-1}2(t_{j+1}-t_j)^2\\ &\leq 2||\pi||T\to 0 \end{align}$$

所以波动趋近于 0, $Q_{\pi}$ 趋近于 $T$

$E(x^4)$ 的解法可参考 正态分布与矩母函数)

Ito Integral

Ito_Integral

Stratonovich Integral

采用取中值 $t^*$ 求积分

它的 Half-sample quadratic variation 是

$$Q_{\pi/2}=\sum_{j=0}^{n-1}[W(t_j^*)-W(t_j)]^2=\frac{T}{2}$$

而

$$\int_{T_0}^TW_t \circ dW_t=\lim_{||\pi||\to 0}\sum_{j=0}^{n-1}W(t_j^*)[W(t_{j+1})-W(t_j)]=\frac12 W^2(T)$$

为了求这个值，可以提出一个由 $t^*$ 划分的 Ito 积分

$$(Ito)\sum_{j=0}^{n-1}W(t_j)[W(t_j^*)-W(t_j)]+\sum_{j=0}^{n-1}W(t_j^*)[W(t_j)-W(t_j^*)]$$

为了合成 Stratonovich Integral 要加上

$$\sum_{j=0}^{n-1}W(t_j^*)^2-2W(t_j)W(t^*_j)+W(t_j)^2=Q_{\pi/2}$$

得到

$$\int_{T_0}^TW_t \circ dW_t=\int_{T_0}^TW_tdW_t+Q_{\pi/2}=W(T)^2-\frac{T}{2}+\frac{T}{2}$$

Ito 与 Stratonovich 转换

We have

$$\int_0^Tf(t,X_t)\circ dB_t=\int_0^T f(t,X_t)dB_t+\frac12\int_0^Tb(t,X_t)f_x(t,X_t)dt$$

If we set two Equivalent function

$$(Ito)\quad dX_t=a(t,X_t)dt+b(t,X_t)dB_t$$ $$(Stra)\quad dX_t=\tilde a(t,X_t)dt+\tilde b(t,X_t)\circ dB_t$$

Put $b(t,X_t)$ into first equation

$$b(t,X_t)\circ dB_t=b(t,X_t)dB_t+\frac12 b(t,X_t)b_x(t,X_t)dt$$

So

$$\begin{align} dX_t&=a(t,X_t)dt+b(t,X_t)\circ dB_t-\frac12 b(t,X_t)b_x(t,X_t)dt\\ &=(a(t,X_t)-\frac12 b(t,X_t)b_x(t,X_t))dt+b(t,X_t)\circ dB_t \end{align}$$

Where

$$\tilde a(t,X_t)=a(t,X_t)-\frac12 b(t,X_t)b_x(t,X_t)$$ $$\tilde b(t,X_t)=b(t,X_t)$$

【Example】

$$dX_t=\frac12f(X_t)f'(X_t)dt+f(X_t)dB_t$$ $$\tilde a(t,X_t)=0,\quad \tilde b(t,X_t)=f(X_t)$$

So the Equivalent SDE

$$dX_t=f(X_t)\circ dB_t$$

Analogue

$$\begin{align} dl(t)&=f(l(t))dc(t)\\ \frac{dl(t)}{f(l(t))}&=dc(t),\quad [0,t]\\ \int_{l(0)}^{l(t)}\frac{du}{f(u)}&=c(t)-c(0) \end{align}$$

If $g’(u)=\frac1{f(u)}$

$$g(l(t))-g(l(0))=c(t)-c(0)$$ $$g(X_t)-g(X_0)=B_t-B_0$$

额外的点

联合分布

求 $P(W_1\leq0,W_2\leq0…)$ 可运用联合正态分布

首先已知 $W_t\sim N(0,t)$, with $0<s<t$

$$\begin{align} Var(W_s,W_t)&=E(W_sW_t)-E(W_s)E(W_t)\\ &=E(W_s(W_t-W_s)+W_s^2)-0\\ &=0+E(W_s^2)=s \end{align}$$

可得知 $[W_1,W_2,…,W_n]$ 的协方差矩阵为

$$\Sigma=\begin{bmatrix} 1&1&1&...&1\\ 1&2&2&...&2\\ 1&2&3&...&3\\ ...&...&...&...&...\\ 1&2&3&...&n\\ \end{bmatrix}$$

代入联合高斯分布

$$f(x)=\frac1{(\sqrt{2\pi})^n|\Sigma|^\frac12}e^{-\frac{(x-\mu_x)'(\Sigma)^{-1}(x-\mu_x)}2}$$

并求多重积分

Log normal

求 GBM 期望的时候

$$\mathbb E(S_t)=S_0exp((\mu-\frac12\sigma^2)t)\mathbb E[e^{\sigma W_t}]$$

需要运用到 Log normal 的特性，我们可以用 GBM 的方法求

GMB：这里的 $\sigma^2$ 是服从的正态分布的 VAR

$$M_x(t)=\mathbb E(e^{tx})=e^{\frac{t^2\sigma^2}2+\mu t}$$

所以 $\mathbb E[e^{\sigma W_t}]= e^{\frac{\sigma^2t}2}$

如果 x 服从对数正态分布 with $ln(x)\sim N(\mu,\sigma^2)$

$\mathbb E(x)=e^{\mu+\sigma^2/2}$, $D(x)=(e^{\sigma^2}-1)e^{2\mu+\sigma^2}$

额外的理解

已知两个定义

$$dW(t)=\epsilon\sqrt{dt},\ \epsilon\sim N(0,1)$$ $$dW(t)dW(t)=dt$$

这两个公式都是不完美的定义，因为 W(t) 实际上是处处不可导的

对于第一个公式，可以理解为在 T 时的分布成正态分布

$$W(T)=\epsilon\sqrt T$$ $$W(T)-W(0)=\epsilon\sqrt T$$ $$W(t+\Delta t)-W(t)=dW(t)=\epsilon\sqrt {\Delta T}$$

对于第二个公式，可以理解为去除了随机性，是由 Quadratic Variation 推出的

$$\lim_{||\pi||\to0}\sum_{j=0}^{n-1}(W(t_{j+1})-W(t_j))^2=T$$ $$\int_0^TdW(t)dW(t)=\int_0^Tdt$$ $$dW(t)dW(t)=dt$$